\documentclass[10pt,oneside]{article} \usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{calc,multido,ifthen,color,bm} \usepackage{theorem,graphicx} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{setspace} \usepackage{dsfont} \usepackage{hyperref} \pagestyle{fancy} %% DATE DE MISE A JOUR A MODIFIER ICI UNIQUEMENT : \def\datedemiseajour{01/10/2025} \fancyhead[L]{Banque \'epreuve orale de math\'ematiques session 2026, CCINP, filière MP et MPI} \fancyhead[C]{} \fancyhead[R]{Mise à jour : \datedemiseajour} \fancyfoot[L]{} \fancyfoot[C]{ \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.fr}{CC BY-NC-SA 3.0 FR}} \fancyfoot[R]{Page \thepage} \author{ } \date{2014, \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.fr}{CC BY-NC-SA 3.0 FR}} %Le titre général de l'article centré verticalement \title{\vspace{\fill}\textbf{ CONCOURS COMMUN INP \\ FILIÈRE MP - FILIÈRE MPI \\\vspace{3cm} \Huge{\textbf{BANQUE\\ \'EPREUVE ORALE\\DE MATH\'EMATIQUES\\SESSION 2026\\\vspace{3cm} sans corrigés }}} \vspace{\fill}} \begin{document} \maketitle \thispagestyle{empty} \begin{flushright} \textbf{Dernière mise à jour : le \datedemiseajour } \end{flushright} \pagebreak \begin{flushleft} %\vspace*{\stretch{1}} \section*{Introduction} L’épreuve orale de mathématiques du concours commun INP, filière MP et filière MPI, se déroule de la manière suivante : \begin{itemize} \item 25mn de préparation sur table. \item 25mn de passage à l’oral. \end{itemize} \bigskip Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : \begin{itemize} \item un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site \url{https://www.concours-commun-inp.fr/fr/index.html}\\ \item un exercice sur 12 points. \end{itemize} \medskip Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents.\\ \bigskip Ce document contient les \textbf{112 exercices de la banque pour la session 2024}: \begin{itemize} \item 58 exercices d'analyse ( exercice 1 à exercice 58).\\ \item 36 exercices d'algèbre (exercice 59 à exercice 94). \\ \item 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112). \end{itemize} \bigskip Dans l'optique d'aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la banque est proposé, avec un corrigé, dans la version de la banque avec corrigés sur le site du CCINP.\\ \bigskip Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d'année scolaire.\\ Cela dit, il ne s'agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures: reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d'éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d'exercices.\\ Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d'année, en vous connectant sur le site : \centerline{\url{https://www.concours-commun-inp.fr/fr/index.html}} Si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.\\ Si tel est le cas, les exercices concernés et les modifications, seront signalés dans la version de la banque avec corrigés, sur le site du CCINP. \bigskip Remerciements à David DELAUNAY pour l'autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l'ancienne banque, diffusés sur son site \url{http://mp.cpgedupuydelome.fr} \vspace{1cm} NB : la pr\'esente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet$] A. Antibi, L. d'Estampes et interrogateurs, Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP, {\it Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT}, {\bf 0701} (2013) 120 exercices. \centerline{\url{http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701}} \item[$\bullet$] D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. \centerline{\url{http://mp.cpgedupuydelome.fr}} \end{itemize} \vspace{2cm} \begin{flushright} L'équipe des examinateurs de l'oral de mathématiques du CCINP, filière MP et filière MPI. \end{flushright} %\vspace*{\stretch{1}} \vspace{.4cm} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth} \textbf{Contact}: {Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP et filière MPI.} \\ \null\hfill \href{mailto:vbellecave@gmail.com}{vbellecave@gmail.com} \end{minipage} \end{flushleft} \pagebreak \begin{flushleft} \part*{BANQUE ANALYSE} \section*{EXERCICE 1\:analyse } On note $E$ l'espace vectoriel des applications continues sur $\left[ 0,1\right]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.\\ On pose : $\forall f\in E$, $||f||_{\infty}=\underset{t\in \left[ 0,1\right] }{\sup}|f(t)|$ et $||f||_{1}=\displaystyle\int_{0}^{1}|f(t)|dt$. \begin{enumerate} \item Les normes $||\:||_{\infty}$ et $||\:||_{1}$ sont-elles équivalentes? Justifier. \item Dans cette question, on munit $E$ de la norme $||\:||_{\infty}$. \begin{enumerate} \item Soit $u:\left\lbrace \begin{array}{lll} E&\longrightarrow& \mathbb{R}\\ f&\longmapsto& f(0) \end{array} \right. $\\ Prouver que $u$ est une application continue sur $E$.\:\:\:\: \item On pose $F=\left\lbrace f\in E\:/\: f(0)=0\right\rbrace$.\\ Prouver que $F$ est une partie fermée de $E$ pour la norme $||\:||_{\infty}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on munit $E$ de la norme $||\:||_{1}$. Soit $c:\left\lbrace \begin{array}{lll} \left[0,1 \right] &\longrightarrow& \mathbb{R}\\ x&\longmapsto& 1 \end{array} \right. $\\ \medskip On pose : $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$, $f_n(x)=\left\lbrace \begin{array}{lll} nx& \text{si}& 0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{n}\\ 1&\text{si}& \dfrac{1}{n}< x\leqslant 1 \end{array}\right. $ \begin{enumerate} \item Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. Calculer $||f_n-c||_{1}$. \item On pose $F=\left\lbrace f\in E\:/\: f(0)=0\right\rbrace$.\\ On note $\bar{F}$ l'adhérence de $F$.\\ Prouver que $c\in \bar{F}$\\ $F$ est-elle une partie fermée de $E$ pour la norme $||\:||_{1}$? \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 2 \:analyse } On pose $f(x)=\dfrac{3x+7}{(x+1)^{2}}$~. \begin{enumerate} \item Décomposer $f(x)$ en éléments simples. \item En déduire que $f$ est développable en série entière sur un intervalle du type $\left]-r,r \right[$ (où $r>0$).\\ Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité $D$ de ce développement en série entière.\:\:\:\:\\ \item \begin{enumerate} \item Soit $\sum a_nx^n$ une série entière de rayon $R>0$.\\ On pose, pour tout $x\in \left]-R,R \right[ $, $g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.\\ Exprimer, pour tout entier $p$, en le prouvant, $a_p$ en fonction de $g^{(p)}(0)$.\\ \item En déduire le développement limité de $f$ à l'ordre 3 au voisinage de 0. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 3\:analyse } \begin{enumerate} \item On pose $g(x)=\mathrm{e}^{2x}$ et $h(x)=\dfrac{1}{1+x}$.\\ Calculer, pour tout entier naturel $k$, la dérivée d'ordre $k$ des fonctions $g$ et $h$ sur leurs ensembles de définitions respectifs. \item On pose $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{1+x}$.\\ En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée $n^{\text{ième}}$ d'un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x\in\mathbb{R}\backslash\left\lbrace -1\right\rbrace $, la valeur de $f^{(n)}(x)$. \item Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 4 \:analyse } \begin{enumerate} \item \'Enoncer le théorème des accroissements finis. \item Soit $f:\left[ a,b\right]\longrightarrow \mathbb{R} $ et soit $x_0\in \left]a,b \right[ $.\\ On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f$ est dérivable sur $]a,x_0[$ et sur $]x_0,b[$.\\ Démontrer que, si $f'$ admet une limite finie en $x_0$, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f'(x)$. \item Prouver que l'implication :\: ( $f$ est dérivable en $x_0$) $\Longrightarrow$ ($f'$ admet une limite finie en $x_0$) est fausse. \textbf{Indication}: on pourra considérer la fonction $g$ définie par: $g(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}$ si $x\not=0$ et $g(0)=0$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 5 \:analyse } \begin{enumerate} \item On considère la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}=\dfrac{1}{n\left( \ln n\right) ^{\alpha }}$ o\`{u} $n\geqslant 2$ et $\alpha \in \mathbb{R}$.\medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Cas $\bm{\alpha \leqslant 0}$}\medskip En utilisant une minoration tr\`{e}s simple de $u_{n}$, démontrer que la série diverge. \item \textbf{Cas $\bm{\alpha >0}$}\medskip \'Etudier la nature de la série.\\ \textbf{Indication}: on pourra utiliser la fonction $f$ d\'{e}finie par $f(x) =\dfrac{1}{x(\ln x) ^{\alpha }}$. \end{enumerate} \item Déterminer la nature de la série $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{}\dfrac{\left( \mathrm{e}-\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n \right)\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}}{\left( \ln(n^2+n)\right) ^2}$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 6 \:analyse } Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite de r\'{e}els strictement positifs et $l$ un r\'{e}el positif strictement inf\'{e}rieur \`{a} 1. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l$, alors la s\'{e}rie $\displaystyle\sum u_{n}$ converge. \textbf{Indication}: écrire, judicieusement, la définition de $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l$, puis majorer, pour $n$ assez grand, $u_{n}$ par le terme g\'{e}n\'{e}ral d'une suite g\'{e}om\'{e}trique. \item Quelle est la nature de la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}{} \dfrac{n!}{n^{n}}$? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 7 \:analyse } \begin{enumerate} \item Soit $\left( u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( v_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ deux suites réelles telles que $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est non nulle à partir d'un certain rang . \begin{enumerate} \item Prouver que si $u_{n}\underset{+\infty}\thicksim v_{n}$ alors $u_{n}$ et $v_{n}$ sont de m\^{e}me signe \`{a} partir d'un certain rang \item Dans cette question, on suppose que $(v_n)$ est positive.\\ Prouver que : $u_{n}\underset{+\infty}{\thicksim} v_{n} \ \Longrightarrow \ \displaystyle\sum u_{n}\ \text{et }\displaystyle\sum v_{n}\ \text{sont de m\^{e}me nature}.$ \end{enumerate} \item Étudier la convergence de la s\'{e}rie $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{} \dfrac{\left((-1)^n+\mathrm{i}\right) \sin \left( \dfrac{1}{n}\right) \ln n }{\left(\sqrt{n+3}-1\right)}$. \textbf{Remarque 1} : $\mathrm{i}$ désigne le nombre complexe de carr\'{e} \'{e}gal \`{a} $-1$.\\ \end{enumerate} \section*{EXERCICE 8 \:analyse } \begin{enumerate} \item Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ $une suite d\'{e}croissante positive de limite nulle. \begin{enumerate} \item Démontrer que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$ est convergente. \textbf{Indication}: on pourra consid\'{e}rer $\left( S_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( S_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ avec $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}u_{k}$. \item Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$. \end{enumerate} \item On pose : $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $f_n(x)=\dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$. \item \'Etudier la convergence uniforme sur $\left[ 0,+\infty\right[ $ de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 9 \:analyse } \begin{enumerate} \item Soit $X$ un ensemble, $\left( g_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$ et $g$ une fonction de $X$ dans $\mathbb{C}$.\\ Donner la définition de la convergence uniforme sur $X$ de la suite de fonctions $\left(g_n\right)$ vers la fonction $g$.\\ \item On pose $f_{n}(x) =\dfrac{n+2}{n+1}\mathrm{e}^{-n x^{2}}\cos \left( \sqrt{n}x\right) $. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $. \item La suite de fonctions $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniformément sur $\left[ 0,+\infty\right[$ ? \item Soit $a>0$. La suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $ converge-t-elle uniform\'{e}ment sur $[a,+\infty[$ ? \item La suite de fonctions $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniform\'{e}ment sur $]0,+\infty[$? \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 10 \:analyse } On pose $f_{n}\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) \dfrac{ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite de fonctions $\left( f_{n}\right) $ converge uniform\'{e}ment sur $[0,1]$. \item Calculer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left( x^{2}+1\right) \dfrac{ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}\text{d}x$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 11 \:analyse } \begin{enumerate} \item Soit $X$ une partie de $\mathbb{R}$, $\left( f_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$ convergeant simplement vers une fonction $f$. \\ On suppose qu'il existe une suite $\left( x_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ d'\'{e}l\'{e}ments de $X$ telle que la suite $\left( f_{n}(x_{n})-f\left( x_{n}\right) \right) _{n\in \mathbb{N}}$ ne tende pas vers $0$. \bigskip D\'{e}montrer que la suite de fonctions $\left( f_{n}\right) $ ne converge pas uniform\'{e}ment vers $f$ sur $X$. \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on pose $f_{n}(x) =\dfrac{\sin \left( nx\right) }{1+n^{2}x^{2}}$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple de la suite $\left( f_{n}\right)$. \item \'Etudier la convergence uniforme de la suite $\left( f_{n}\right)$ sur $[a,+\infty[$ (avec $a>0$), puis sur $]0,+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 12\:analyse } \begin{enumerate} \item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$, et que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f_n$ est continue en $x_0$, avec $x_0\in[a,b]$. Démontrer que $f$ est continue en $x_0$. \item On pose : $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in[0;1]$, $g_n(x)=x^n$.\\ La suite de fonctions $(g_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge-t-elle uniformément sur $[0;1]$? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 13\:analyse } \begin{enumerate} \item Rappeler, oralement, la définition, par les suites de vecteurs, d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. \item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie fermée de cet espace. \item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie bornée de cet espace.\\ \textbf{ Indication }: On pourra raisonner par l'absurde. \item On se place sur $E=\mathbb{R}[X]$ muni de la norme $||\:||_{1}$ définie pour tout polynôme $P=a_0+a_1X+....+a_nX^n$ de $E$ par : $||P||_{1}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}|a_{i}|$. \begin{enumerate} \item Justifier que $S(0,1)=\left\lbrace P\in\mathbb{R}[X]\:/\: ||P||_{1}=1\right\rbrace $ est une partie fermée et bornée de $E$. \item Calculer $||X^n-X^m||_{1}$ pour $m$ et $n$ entiers naturels distincts.\\ $S(0,1)$ est-elle une partie compacte de $E$? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 14 \:analyse } \begin{enumerate} \item Soit $a$ et $b$ deux réels donnés avec $a0$},\ \ f(x)=\cos\sqrt{-x}\text{ si $x<0$}\ . \end{equation*} Démontrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 25 \:analyse } \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{1+t^{2}+t^{n}e^{-t}}$ est int\'{e}grable sur $[0,+\infty[$. \item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{\text{d}t}{1+t^{2}+t^{n}e^{-t}}$. Calculer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 26 \:analyse } Pour tout entier $n\geqslant 1$, on pose $I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty } \dfrac{1}{\left( 1+t^{2}\right) ^n} \text{d}t$. \begin{enumerate} \item Justifier que $I_{n}$ est bien d\'{e}finie. \item \begin{enumerate} \item \'Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^*}$. \item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^*}$. \end{enumerate} \item La s\'{e}rie $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}(-1)^n I_{n}$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 27 \:analyse } Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, on pose\ $f_{n}\left( x\right) =\dfrac{e^{-x}}{% 1+n^{2}x^{2}}\ \ $et $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $\left( f_{n}\right) $ sur $[0,1]$. \item Soit $a\in\left] 0,1 \right[$. La suite de fonctions $\left( f_{n}\right) $ converge-t-elle uniformément sur $\left[a,1 \right]$? \item La suite de fonctions $\left( f_{n}\right) $ converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$? \item Trouver la limite de la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}^*}.$ \end{enumerate} \section*{EXERCICE 28 \:analyse } \emph{N.B. : les deux questions sont ind\'{e}pendantes.} \begin{enumerate} \item La fonction $x\longmapsto \dfrac{e^{-x}}{\sqrt{x^{2}-4}}$ est-elle int\'{e}grable sur $]2,+\infty[$? \item Soit $a$ un réel strictement positif.\\ La fonction $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{1+x^{2a}}}$ est-elle int\'{e}grable sur $]0,+\infty[$? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 29\:analyse } On pose : $\forall\:x\in ]0,+\infty[$, $\forall\:t\in \left] 0,+\infty\right[ $, $f(x,t)=\text{e}^{-t}t^{x-1}$ . \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\forall \:x\in \left]0,+\infty \right[$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $\left] 0,+\infty\right[ $. \bigskip On pose alors: $\forall \:x\in]0,+\infty[$, $\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{e}^{-t}t^{x-1}\text{d}t$. \item Pour tout $x\in]0,+\infty[$, exprimer $\Gamma(x+1)$ en fonction de $\Gamma(x)$. \item Démontrer que $\Gamma$ est de classe $C^1$ sur $]0;+\infty[$ et exprimer $\Gamma~\!'(x)$ sous forme d'intégrale. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 30 \:analyse } \begin{enumerate} \item \'Enoncer le th\'{e}or\`{e}me de d\'{e}rivation sous le signe int\'{e}grale. \item D\'{e}montrer que la fonction $f:x\longmapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}\cos \left( xt\right) \text{d}t$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$. \item \begin{enumerate} \item Trouver une \'{e}quation diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire $\left(E\right)$ d'ordre $1$ dont $f$ est solution. \item Résoudre $\left(E\right)$ . \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 31 \:analyse } \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de $x\longmapsto \cos^4x$. \item R\'{e}soudre sur $\mathbb{R}$ l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle: $y''+y=\cos^3 x$ en utilisant la m\'{e}thode de variation des constantes. \end{enumerate} \medskip \section*{EXERCICE 32 \:analyse } Soit l'équation différentielle: $x(x-1)y''+3xy'+y=0$. \begin{enumerate} \item Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière sur un intervalle $\left]-r,r \right[$ de $\mathbb{R}$, avec $r>0$.\\ Déterminer la somme des séries entières obtenues. \item Est-ce que toutes les solutions de $x(x-1)y''+3xy'+y=0$ sur $\left]0;1 \right[$ sont les restrictions d'une fonction développable en série entière sur $\left]-1,1 \right[$?\\ \end{enumerate} \section*{EXERCICE 33 \:analyse } On pose : $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace (0,0)\right\rbrace$, $f\left( x,y\right) =\dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ et $f\left( 0,0\right) =0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$. \item Démontrer que $f$ admet des d\'{e}riv\'{e}es partielles en tout point de $\mathbb{R}^{2}$. \item $f$ est-elle de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$? Justifier. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 34 \:analyse } Soit $A$ une partie non vide d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$. \begin{enumerate} \item Rappeler la définition d'un point adhérent à $A$, en termes de voisinages ou de boules. \item Démontrer que: $x\in\bar{A}\Longleftrightarrow\exists(x_n)_{n\in\mathbb N}$ telle que, $\forall n\in\mathbb{N}, x_n\in A$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=x$. \item Démontrer que, si $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $\bar{A}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \item Soient $B$ une autre partie non vide de $E$. Montrer que $\overline{A\times B} = \bar{A}\times\bar{B}$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 35 \:analyse } $E$ et $F$ désignent deux espaces vectoriels normés.\\ On note $||\:||_{E}$ ( respectivement $||\:||_{F}$) la norme sur $E$ (respectivement sur $F$). \begin{enumerate} \item Soient $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$. On considère les propositions suivantes: \begin{description} \item[P1.] $f$ est continue en $a$. \item[P2.] Pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d'éléments de $E$ telle que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=a$, alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(a)$. \end{description} Prouver que les propositions P1 et P2 sont équivalentes. \item Soit $A$ une partie dense dans $E$, et soient $f$ et $g$ deux applications continues de $E$ dans $F$. Démontrer que si, pour tout $x\in A$, $f(x)=g(x)$, alors $f=g$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 36 \:analyse } Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb R$.\\ On note $||\:||_{E}$ ( respectivement $||\:||_{F}$) la norme sur $E$ (respectivement sur $F$). \begin{enumerate} \item Démontrer que si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$, alors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes: \begin{description} \item[P1.] $f$ est continue sur $E$. \item[P2.] $f$ est continue en $0_E$. \item[P3.] $\exists k>0$ tel que : $\forall x\in E, \left\Vert f(x)\right\Vert_{F} \leqslant k\left\Vert x\right\Vert_E$. \end{description} \item Soit $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $[0;1]$ dans $\mathbb{R}$ muni de la norme définie par: $\Vert f\Vert_{\infty}=\sup\limits_{x\in[0;1]}|f(x)|$~. On considère l'application $\varphi$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ définie par: $\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1 f(t)\text{d}t$.\bigskip Démontrer que $\varphi$ est linéaire et continue. %\item Pour toute fonction $f$ linéaire et continue de $E$ dans $F$, on pose $|||f|||=\displaystyle\sup_{\left\Vert x\right\Vert \leqslant1}\dfrac{\left\Vert f(x)\right\Vert}{\left\Vert x\right\Vert }\cdot$ %Démontrer que $f\longmapsto|||f|||$ est une norme dans l'espace vectoriel ${\cal L}(E,F)$ des applications linéaires et continues de $E$ dans $F$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 37 \:analyse } On note $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $[0;1]$ dans $\mathbb{R}$.\\ On pose: $\forall \:f\in E$, $N_{\infty}(f)=\sup\limits_{x\in[0;1]} |f(x)|$ et $N_1(f)=\displaystyle\int_0^1|f(t)| \text{d}t$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $N_{\infty}$ et $N_1$ sont deux normes sur $E$. \item Démontrer qu'il existe $k>0$ tel que, pour tout $f$ de $E$, $N_1(f)\leq k N_{\infty}(f)$. \item Démontrer que tout ouvert pour la norme $N_1$ est un ouvert pour la norme $N_{\infty}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les normes $N_1$ et $N_{\infty}$ ne sont pas équivalentes. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 38 \:analyse } \begin{enumerate} \item On se place sur $E=\mathcal{C} \left( [0,1],\mathbb{R}\right) $, muni de la norme $||\:||_1$ définie par : $\forall\:f\in E$, $||f||_1=\displaystyle\int_{0}^{1}|f(t)|dt$.\\ Soit $u:\begin{array}{lll} E &\longrightarrow &E\\ f&\longmapsto & u(f)=g \end{array}$ avec $\forall\: x\:\in [0,1]$, $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt$.\\ \medskip On admet que $u$ est un endomorphisme de $E$.\\ Prouver que $u$ est continue et calculer $|||u|||$.\\ \textbf{Indication} : considérer, pour tout entier $n$ non nul, la fonction $f_n$ définie par $f_n(t)=n\mathrm{e}^{-nt}$. \item Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Soit $(a_1,a_2,...,a_n)\in\mathbb{R}^n$ un $n$-uplet\textbf{ non nul}, \textbf{fixé}.\\ \medskip Soit $u:\begin{array}{ccc} \mathbb{R}^n&\longrightarrow & \mathbb{R}\\ (x_1,x_2,...,x_n)&\longmapsto& \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ix_i \end{array}$.\\ \begin{enumerate} \item Justifier que $u$ est continue quel que soit le choix de la norme sur $\mathbb{R}^n$. \item On munit $\mathbb{R}^n$ de $||\:||_{2}$ où $\forall x=(x_1,x_2,...,x_n)\in \mathbb{R}^n$, $||x||_2=\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2}$.\\ Calculer $|||u|||$.\\ \end{enumerate} \item Déterminer un espace vectoriel $E$, une norme sur $E$ et un endomorphisme de $E$ non continu pour la norme choisie. Justifier. \end{enumerate} \textbf{Remarque} : Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes. \section*{EXERCICE 39 \:analyse } On note $l^2$ l'ensemble des suites $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres réels telles que la série $\displaystyle\sum x_n^2$ converge. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in l^2$ et $y=(y_n) _{n\in\mathbb{N}}\in l^2$, la série $\displaystyle\sum x_ny_n$ converge.\\ On pose alors $(x|y)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x_ny_n$.\\ \item Démontrer que $l^2$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de nombres réels.\\ \end{enumerate} \medskip Dans la suite de l'exercice, on admet que $(\:|\:)$ est un produit scalaire dans $l^2$.\\ On suppose que $l^2$ est muni de ce produit scalaire et de la norme euclidienne associée, notée $||\:||$.\\ \item Soit $p\in\mathbb{N}$. Pour tout $x=(x_n)\in l^2$, on pose $\varphi(x)=x_p$.\\ Démontrer que $\varphi$ est une application linéaire et continue de $l^2$ dans $\mathbb{R}$. \item On considère l'ensemble $F$ des suites réelles presque nulles c'est-à-dire l'ensemble des suites réelles dont tous les termes sont nuls sauf peut-être un nombre fini de termes.\\ Déterminer $F^{\perp}$ (au sens de $(\:|\:)$).\\ Comparer $F$ et $\left( F^{\perp}\right) ^{\perp}$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 40 \:analyse } Soit $A$ une algèbre de dimension finie admettant $e$ pour élément unité et munie d'une norme notée ||\:||.\\ On suppose que : $\forall (u,v)\in A^2$, $||u.v||\leqslant||u||.||v||$.\\ \begin{enumerate} \item Soit $u$ un élément de $A$ tel que $\Vert u\Vert<1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la série $\displaystyle\sum u^n$ est convergente. \item Démontrer que $(e-u)$ est inversible et que $(e-u)^{-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u^n$. \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $u\in A$, la série $\displaystyle\sum\dfrac{u^n}{n!}$ converge. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 41 \:analyse } Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ d\'efinie par $f:(x,y)\mapsto 4x^2+12xy-y^2$. \\ \medskip Soit $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x^2+y^2=13\}$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $C$. \item Soit $(u,v)\in C$ un point o\`u $f$ atteint un de ses extremums. \begin{enumerate} \item Justifier avec un th\'eor\`eme du programme qu'il existe un r\'eel $\lambda$ tel que le syst\`eme $(S)$ suivant soit v\'erifi\'e:\\ $(S)\ :\ \left\{\begin{array}{lll}4u&+6v&=\lambda u\\6u&-v&=\lambda v\end{array}\right.$ \item Montrer que $(\lambda-4)(\lambda+1)-36=0$.\\ En d\'eduire les valeurs possibles de $\lambda$. \end{enumerate} \item D\'eterminer les valeurs possibles de $(u,v)$, puis donner le maximum et le minimum de $f$ sur $C$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 42 \:analyse } \addcontentsline{toc}{subsection}{Exercice 2} On considère les deux équations différentielles suivantes:\\ $ 2xy'-3y=0 $\:\:\:\:\:\: $(H)$\\ $ 2xy'-3y=\sqrt{x} $\:\:\: $(E)$\\ \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $(H)$ sur l'intervalle $\left] 0,+\infty\right[ $. \item Résoudre l'équation $(E)$ sur l'intervalle $\left] 0,+\infty\right[ $. \item L'équation $(E)$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $\left[ 0,+\infty\right[ $? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 43 \:analyse } Soit $x_0 \in \mathbb{R}$.\\ On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=x_0$ et, $\forall n\in\mathbb{N}\:,\: u_{n+1}=\mathrm{Arctan}(u_n)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est monotone et déterminer, en fonction de la valeur de $x_0$, le sens de variation de $(u_n)$. \item Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des fonctions $h$, continues sur $\mathbb{R}$, telles que : $\forall x \in \mathbb{R}$, $h(x)=h(\mathrm{Arctan}\: x)$. \end{enumerate} \medskip \section*{EXERCICE 44 \:analyse } Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $E$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Rappeler la caractérisation de l'adhérence d'un ensemble à l'aide des suites. \item Montrer que : $A \subset B \Longrightarrow \overline{A} \subset \overline{B}$. \end{enumerate} \item Montrer que : $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cup \overline{B}$ \\ \textbf{ Remarque}: une réponse sans utiliser les suites est aussi acceptée. \item \begin{enumerate} \item Montrer que : $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. \item Montrer, à l'aide d'un exemple, que l'autre inclusion n'est pas forcément vérifiée (on pourra prendre $E=\mathbb{R}$). \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 45 \:analyse } \textbf{ Les questions 1. et 2. sont indépendantes}.\\ Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé. On note $||\:||$ la norme sur $E$.\\ Soit $A$ une partie non vide de $E$.\\ On note $\overline{A}$ l'adhérence de $A$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la caractérisation séquentielle de $\overline{A}$. \item Prouver que, si $A$ est convexe, alors $\overline{A}$ est convexe. \end{enumerate} \item On pose : $\forall x \in E,\:{d_A}(x) = \mathop {\inf }\limits_{a \in A} \left\| {x - a} \right\|$. \begin{enumerate} \item Soit $x \in{E}$. Prouver que $d_{A}(x) = 0 \Longrightarrow x \in \overline A $. \item On suppose que $A$ est fermée et que : $\forall (x,y) \in{E^2}$, $\forall t\in{[0,1]}$, $d_A(tx+(1-t)y)\leqslant td_A(x)+(1-t)d_A(y)$.\\ Prouver que $A$ est convexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 46 \:analyse } On considère la série:$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right) $. \begin{enumerate} \item Prouver que, au voisinage de $+\infty$, $\pi\sqrt{n^2+n+1}=n\pi+\dfrac{\pi}{2}+\alpha\dfrac{\pi}{n}+O\left(\dfrac{1}{n^2} \right)$ où $\alpha$ est un réel que l'on déterminera. \item En déduire que $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right) $ converge. \item $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right) $ converge-t-elle absolument? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 47 \:analyse } Pour chacune des séries entières de la variable réelle suivantes, déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière sur l'intervalle ouvert de convergence:\\ \begin{enumerate} \item $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}^{} \dfrac{3^nx^{2n}}{n}$.\:\:\:\: \item $\displaystyle\sum a_nx^n$ avec $\left\lbrace \begin{array}{l} a_{2n}=4^n\\ a_{2n+1}=5^{n+1} \end{array}\right. $\:\:\:\: \end{enumerate} \section*{EXERCICE 48 \:analyse } $C^{0}\left( \left[ 0,1\right] ,\mathbb{R}\right) $ désigne l'espace vectoriel des fonctions continues sur $ \left[ 0,1\right] $ à valeurs dans $\mathbb{R}$.\\ Soit $f\in C^{0}\left( \left[ 0,1\right] ,\mathbb{R}\right) $ telle que : $ \forall n\in \mathbb{N},\: \displaystyle\int_{0}^{1}t^{n}f\left( t\right) \mathrm{d}t=0$. \begin{enumerate} \item \'Enoncer le th\'{e}or\`{e}me de Weierstrass d'approximation par des fonctions polynomiales. \item Soit $\left( P_{n}\right) $ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniform\'{e}ment sur le segment $\left[ 0,1\right]$ vers $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite de fonctions $\left( P_{n}f\right) $ converge uniform\'{e}ment sur le segment $\left[ 0,1\right] $ vers $f^2$. \item D\'{e}montrer que $\displaystyle\int_{0}^{1} f^2(t) \ \mathrm{d}t=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim } \displaystyle\int_{0}^{1}P_{n}(t)f(t)\mathrm{d}t $. \item Calculer $\displaystyle\int _{0}^{1}P_{n}\left( t\right) f\left( t\right) \mathrm{d}t$. \end{enumerate} \item En d\'{e}duire que $f$ est la fonction nulle sur le segment $\left[ 0,1 \right] .$ \end{enumerate} \section*{EXERCICE 49 \:analyse } Soit $\displaystyle\sum a_{n}$ une s\'{e}rie absolument convergente \`{a} termes complexes. On pose $M=$ $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\left\vert a_{n}\right\vert .$\\ On pose : $ \forall n\in \mathbb{N},\: \forall t\in \left[ 0,+\infty \right[,\: f_{n}\left( t\right) =\dfrac{a_{n}t^{n}}{n!} \mathrm{e}^{-t}.$\\ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la suite $(a_n)$ est bornée. \item Justifier que la série de fonctions $\sum\limits_{}^{ }f_{n}$ converge simplement sur $\left[ 0,+\infty \right[$.\\ \medskip On admettra, pour la suite de l'exercice, que $f$: $t\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }f_{n}(t)$ est continue sur $\left[ 0,+\infty \right[ .$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout $n\in{\mathbb{N}}$, la fonction $g_n:t\mapsto t^n\text{e}^{-t}$ est intégrable sur $\left[ 0,+\infty \right[$ et calculer $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }g_n(t) \mathrm{d}t$.\\ En déduire la convergence et la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\left\vert f_{n}\left( t\right) \right\vert \, \mathrm{d}t$. \item Prouver que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\left( \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{a_{n}\,t^{n}}{n!}\,\mathrm{e}^{-t}\right) \mathrm{d}t=$ $ \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 50 \:analyse } On considère la fonction $\;F : x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\text{e}^{-2\,t}}{x+t} \mathrm{d}t$. \begin{enumerate} \item Prouver que $F$ est définie et continue sur $\left] 0;+\infty\right[ $. \item Prouver que $x\longmapsto xF(x)$ admet une limite en $+\infty$ et déterminer la valeur de cette limite. \item Déterminer un équivalent, au voisinage de $+\infty$, de $F(x)$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 51 \:analyse } \begin{enumerate} \item Montrer que la série $\sum\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{4n}(2n+1)}$ converge. \medskip On se propose de calculer la somme de cette série. \medskip \item Donner le développement en série entière en 0 de $t\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{1-t}}$ en précisant le rayon de convergence.\\ \textbf{Remarque}: dans l'expression du développement, on utilisera la notation factorielle. \item En déduire le développement en série entière en 0 de $x\longmapsto\mathrm{Arcsin}\,x$ ainsi que son rayon de convergence. \item En déduire la valeur de $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{4n}(2n+1)}$\,. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 52 \:analyse } Soit $\alpha\in\mathbb R$.\\ On considère l'application définie sur $\mathbb{R}^2$ par $f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}-xy} & \mathrm{si}\ (x,y)\not=(0,0)\\ \hfil\alpha & \mathrm{si}\ (x,y)=(0,0). \end{cases} $ \begin{enumerate} \item Prouver que : $\forall(x,y)\in\mathbb R^{2},\:x^{2}+y^{2}-xy\geqslant\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que le domaine de définition de $f$ est bien $\mathbb{R}^2$. \item Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb R^{2}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $\alpha=0$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sur $\mathbb R^{2}\setminus\big\{(0,0)\big\}$ et les calculer. \item Justifier l'existence de $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ et donner leur valeur. \item $f$ est-elle de classe ${\cal C}^{1}$ sur $\mathbb R^{2}$? \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 53 \:analyse } On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=\dfrac{x}{1+n^4x^4}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.\\ On pose alors : $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$. \item Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $00 \right\rbrace$. \\ Prouver que l'ensemble $ \left\lbrace \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t\times \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t\:,\:f\in E\right\rbrace $ admet une borne inférieure $m$ et déterminer la valeur de $m$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 77 \: algèbre } Soit $E$ un espace euclidien. \begin{enumerate} \item Soit $A$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\ D\'{e}montrer que $\left( A^{\perp }\right) ^{\perp }=A$. \item Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que \ $\left( F+G\right) ^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$. \item D\'{e}montrer que\ $\left( F\cap G\right) ^{\perp }=F^{\perp}+G^{\perp }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 78 \: algèbre } Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$.\\ On note $\left( x|y\right) $ le produit scalaire de $x$ et de $y$ et $||.||$ la norme euclidienne associée. \begin{enumerate} %\item Démontrer que si :$\left( \forall (x,y)\in E^{2}\right)\ \left( u(x)|u(y)\right) =\left( x|y\right) $ alors $u$ est bijectif. \item Soit $u$ un endomorphisme de $E$, tel que: $\forall x \in E, \vert\vert u(x)\vert\vert = \vert\vert x\vert\vert$. \begin{enumerate} \item Démontrer que: $\forall (x,y)\in E^{2}~(u(x)|u(y)) = (x|y) $. \item Démontrer que $u$ est bijectif. \end{enumerate} \item On note ${\mathcal{O}}(E)$ l'ensemble des isométries vectorielles de $E$.\\ C'est -à-dire ${\mathcal{O}}(E)=\left\lbrace u\in\mathcal{L}\left(E \right)\:/ \: \forall x \in E, \vert\vert u(x)\vert\vert = \vert\vert x\vert\vert \right\rbrace $.\\ \medskip Démontrer que ${\mathcal{O}}(E)$ , muni de la loi $\circ $ , est un groupe.\\ \item Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $e=(e_1,e_2,...,e_n)$ une base orthonormée de $E$.\\ Prouver que : $u\in {\mathcal{O}}(E)\Longleftrightarrow$$ \left( u(e_1),u(e_2),...,u(e_n)\right) $ est une base orthonormée de $E$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 79 \: algèbre} Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a$<$b$.\\ \begin{enumerate} \item Soit $h$ une fonction continue et positive de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.\bigskip Démontrer que $\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\text{d}x=0\Longrightarrow h=0$~. \item Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.\\ On pose : $\forall\:(f,g)\in E^2$, $\left( f|g\right) =\displaystyle\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\text{d}x$.\\ Démontrer que l'on d\'{e}finit ainsi un produit scalaire sur $E$. \item Majorer $\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x}e^{-x}\text{d}x$ en utilisant l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 80 \: algèbre} Soit $E\ $l'espace vectoriel des applications continues et $2\pi $-p\'{e}riodiques de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left( f\ |\ g\right) =\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{2\pi }f\left( t\right) g\left( t\right) \text{d}t$ d\'{e}finit un produit scalaire sur $E$. \item Soit $F$ le sous-espace vectoriel engendr\'{e} par $f:x\mapsto \cos x$ et $g:x\mapsto \cos \left( 2x\right)$.\bigskip D\'{e}terminer le projet\'{e} orthogonal sur $F$ de la fonction $u:x\mapsto \sin ^{2}x$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 81 \: algèbre} On d\'{e}finit dans $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \times \mathcal{% M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \ $l'application $\varphi$ par : $\varphi \left( A,A'\right) =\text{tr}\left( A^TA'\right)$, où $\text{tr}\left( A^TA'\right)$ désigne la trace du produit de la matrice $A^T$ par la matrice $A'$.\\ On admet que $\varphi $ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\ .$\\ \medskip On note $\mathcal{F}=\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a% \end{array}% \right),\ \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\}$.\\ \begin{enumerate} \item Démontrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) $. \item D\'{e}terminer une base de $\mathcal{F}^{\perp }$. \item D\'{e}terminer le projeté orthogonal de $J=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1% \end{array}% \right)$ sur $\mathcal{F}^{\perp }$ . \item Calculer la distance de $J$ à $\mathcal{F}$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 82 \: algèbre} Soit $E$ un espace pr\'{e}hilbertien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie $n>0$.\smallskip On admet que, pour tout $x\in E$, il existe un élément unique $y_0$ de $F$ tel que $x-y_0$ soit orthogonal à $F$ et que la distance de $x$ à $F$ soit égale à $\left\Vert x-y_0\right\Vert$. Pour $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d% \end{pmatrix}$ et $A'=\begin{pmatrix} a^{\prime } & b^{\prime } \\ c^{\prime } & d^{\prime }% \end{pmatrix}$, on pose $\left( A\ |\ A'\right) =aa^{\prime}+bb^{\prime}+cc^{\prime}+dd^{\prime}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left( \,.\,|\,.\,\right) $ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)$. \item Calculer la distance de la matrice $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2% \end{array}% \right)$ au sous-espace vectoriel $F$ des matrices triangulaires sup\'{e}rieures. \end{enumerate} \section*{Exercice 83 \: algèbre} \addcontentsline{toc}{subsection}{\'Enoncé exercice 3} Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$. \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel non nul. Prouver que si $\lambda$ est valeur propre de $u\circ v$, alors $\lambda$ est valeur propre de $v\circ u$.\\ \:\:\:\: \item On considère, sur $E=\mathbb{R}\left[ X\right] $ les endomorphismes $u$ et $v$ définis par $u$:\:$P\longmapsto \displaystyle\int_{1}^{X}P $ et $v$:\:$P\longmapsto P'$ .\\ Déterminer $ \mathrm{Ker} (u\circ v)$ et $\mathrm{Ker} (v\circ u)$. Le résultat de la question 1. reste-t-il vrai pour $\lambda=0$?\:\:\:\: \item Si $E$ est de dimension finie, démontrer que le résultat de la première question reste vrai pour $\lambda=0$.\\ \textbf{Indication }: penser à utiliser le déterminant.\:\:\:\: \end{enumerate} \section*{EXERCICE 84 \: algèbre} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un argument d'un nombre complexe non nul (on ne demande ni l'interprétation géométrique, ni la démonstration de l'existence d'un tel nombre). \item Soit $n\in{\mathbb{N}^{*}}$. Donner, en justifiant, les solutions dans $\mathbb{C} $ de l'équation $z^{n}=1$ et préciser leur nombre. \item En déduire, pour $n\in{\mathbb{N}^{*}}$, les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $\left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n}$ et démontrer que ce sont des nombres réels. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 85\: algèbre} \begin{enumerate} \item Soient $n \in{\mathbb{N}^{*}}$, $P\in{\mathbb{R}_{n}\left[ X\right] }$ et $a \in{\mathbb{R}}$. \begin{enumerate} \item Donner sans démonstration, en utilisant la formule de Taylor, la décomposition de $P(X)$ dans la base $\left( 1, X-a, \left( X-a\right) ^{2}, \cdots, (X-a)^{n}\right) $. \item Soit $r\in{\mathbb{N}^{*}}$. En déduire que :\\$a$ est une racine de $P$ d'ordre de multiplicité $r$ si et seulement si $P^{(r)}(a)\neq 0$ et $\forall k \in{\llbracket 0,r-1 \rrbracket}$ , $P^{(k)}(a)=0$. \end{enumerate} \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ pour que $1$ soit racine double du polynôme $P=X^{5}+aX^{2}+bX$ et factoriser alors ce polynôme dans $\mathbb{R}\left[ X\right] $. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 86 \: algèbre} \begin{enumerate} \item Soit $(a,b,p)\in{\mathbb{Z}^{3}}$. Prouver que : si $p \wedge a = 1 $ et $p\wedge b=1$, alors $p\wedge (ab)=1$. \item Soit $p$ un nombre premier. \begin{enumerate} \item Prouver que $\forall k \in{\llbracket 1,p-1\rrbracket}$, $p$ divise $\dbinom{p}{k}k!$\:\: puis en déduire que $p$ divise $\dbinom{p}{k}$. \item Prouver que: $\forall n \in{\mathbb{N}}$,\: $n^{p}\equiv n \:\mod p $.\\ \textbf{Indication}: procéder par récurrence. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, que : $ p \:\text{ne divise pas }\: n \Longrightarrow\: n^{p-1}\equiv 1 \mod p$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 87 \: algèbre } Soient\ $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$ ,\: $n+1$ réels deux à deux distincts. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si\ $b_{0},b_{1},\cdots ,b_{n}\;$sont$\;n+1\;$ réels \ quelconques, alors il existe un unique polyn\^{o}me $P\ $vérifiant \begin{equation*} \deg P\leqslant n \:\:\text{et}\:\:\forall i\in \llbracket 0,n\rrbracket,\:\:P\left( a_{i}\right) =b_{i}. \end{equation*} \item Soit $k\in \llbracket 0,n \rrbracket $. \\ Expliciter ce polyn\^{o}me $P $, que l'on notera $L_{k}$, lorsque :% \begin{equation*} \forall i\in \llbracket 0 ,n \rrbracket, \ \ b_{i}= \left\{ \begin{array}{lll} 0&\text{si}&i\neq k \\ 1&\text{si}&i=k \end{array} \right. \end{equation*} \item Prouver que $\forall p\in \llbracket 0 ,n \rrbracket$ ,\:\bigskip $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}^{p}L_{k}=X^{p}$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 88 \: algèbre} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $P\in\mathbb{K}[X]$.\\ Prouver que si $P$ annule $u$ alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.\\ \item Soit $n\in\mathbb{N} $ tel que $n\geqslant 2$. On pose $E=\mathcal{M}_n\left( \mathbb{R}\right) $.\\ Soit $A=\left( a_{i,j}\right) _{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant n}}$ la matrice de $E$ définie par $a_{i,j}=\left\lbrace \begin{array}{l} 0\:\text{si}\:i=j\\ 1\:\text{si}\:i\neq j\\ \end{array}\right. $ .\\ Soit $u\in\mathcal{L}\left(E\right) $ défini par : $\forall\:M\in E$, $u(M)=M+\mathrm{tr} (M)A$. \\ \begin{enumerate} \item Prouver que le polynôme $X^2-2X+1$ est annulateur de $u$. \item $u$ est-il diagonalisable?\\ Justifier votre réponse en utilisant deux méthodes (l'une avec, l'autre sans l'aide de la question 1.). \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 89 \: algèbre } Soit $n \in {\mathbb{N}}$ tel que $n\geqslant 2$. On pose $z = e^{\mathrm{i}\,\frac{2\pi}{n}}$. \begin{enumerate} \item On suppose $k\in {\llbracket 1,n-1\rrbracket}$. \\Déterminer le module et un argument du complexe $\:z^k - 1$. \item On pose $\;S = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} \;\left|z^k - 1\right|$. Montrer que $\:S = \dfrac{2}{\tan\frac{\pi}{2n}}$. \end{enumerate}\vspace{0.2cm} \section*{EXERCICE 90 \: algèbre } $\mathbb K$ désigne le corps des réels ou celui des complexes.\\ Soient $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ trois scalaires distincts donnés de $\mathbb K$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Phi:\begin{array}[t]{ccc} \mathbb K_{2}[X] & \longrightarrow & \mathbb K^{3} \hfill\\ P & \longmapsto & \big(P(a_{1}),P(a_{2}),P(a_{3})\big) \\ \end{array}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. \item On note $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ la base canonique de $\mathbb K^{3}$ et on pose $\forall k\in\{1,2,3\}, \:L_{k}=\Phi^{-1}(e_{k})$. \begin{enumerate} \item Justifier que $(L_{1}, L_{2}, L_{3})$ est une base de $\mathbb K_{2}[X]$. \item Exprimer les polynômes $L_{1}, L_{2}$ et $L_{3}$ en fonction de $a_{1}, a_{2}$ et $a_{3}$. \end{enumerate} \item Soit $P\in\mathbb K_{2}[X]$. Déterminer les coordonnées de $P$ dans la base $(L_{1}, L_{2}, L_{3})$. \item \textbf{Application} : on se place dans $\mathbb R^{2}$ muni d'un repère orthonormé et on considère les trois points $A(0,1), B(1,3), C(2,1)$. Déterminer une fonction polynomiale de degré 2 dont la courbe passe par les points $A$, $B$ et $C$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 91 \: algèbre} On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 0& 2 & -1 \\ -1& 3 &-1 \\ -1& 2 & 0 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).$ \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ n'admet qu'une seule valeur propre que l'on déterminera. \item La matrice $A$ est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? \item Déterminer, en justifiant, le polynôme minimal de $A$. \item Soit $n\in\mathbb{N}$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)^2$ et en déduire la valeur de $A^n$. \end{enumerate} \medskip \section*{EXERCICE 92\: algèbre } Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On considère $E=\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$.\\ \medskip On pose : $\forall(A,B)\in E^2$, $\left\langle A\:,B \right\rangle=\mathrm{tr}(A^TB)$ où tr désigne la trace et $A^T$ désigne la transposée de la matrice $A$. \begin{enumerate} \item Prouver que $\left\langle\:,\right\rangle$ est un produit scalaire sur $E$. \item On note $S_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques de $E$.\\ Une matrice $A$ de $E$ est dite antisymétrique lorsque $A^T=-A$.\\ On note $A_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques de $E$.\\ On admet que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. \begin{enumerate} \item Prouver que $E=S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$. \item Prouver que $A_n(\mathbb{R})^\perp=S_n(\mathbb{R})$. \end{enumerate} \item Soit $F$ l'ensemble des matrices diagonales de $E$.\\ Déterminer $F^\perp$. \end{enumerate} \medskip \ \section*{EXERCICE 93 \: algèbre } Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n>0$ et $u\in{\mathcal{ L}(E)}$ tel que $u^3+u^2+u=0.$\\ On notera $\mathrm{Id}$ l'application identité sur $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{Im }u \oplus \mathrm{Ker} u = E.$ \item \begin{enumerate} \item \'Enoncer le lemme des noyaux pour deux polynômes. \item En déduire que $\mathrm{Im }u =\mathrm{Ker} (u^2+u+\mathrm{Id})$. \end{enumerate} \item On suppose que $u$ est non bijectif.\\ Déterminer les valeurs propres de $u$. Justifier la réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{ Remarque}: les questions 1. , 2. et 3. peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. \section*{EXERCICE 94 \: algèbre } \begin{enumerate} \item En raisonnant par l'absurde, montrer que le système $(S)$: $\left\{\begin{array}{lccl} x&\equiv&5& [6]\\ x&\equiv&4&[8] \end{array}\right.$ n'a pas de solution $x$ appartenant à $\mathbb{Z}$ \item \begin{enumerate} \item \'Enoncer le théorème de Bézout dans $\mathbb{Z}$.\:\:\:\: \item Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux. \\ Soit $c\in \mathbb{Z}$.\\ \medskip Prouver que: $\left( a|c\:\text{et} \:b|c\right)\Longleftrightarrow ab|c$. \:\:\:\ \end{enumerate} \item On considère le système $(S)$: $\left\{\begin{array}{lccl} x&\equiv&6& [17]\\ x&\equiv&5& [16]\\ x&\equiv&4&[15] \end{array}\right.$ dans lequel l'inconnue $x$ appartient à $\mathbb{Z}$.\\ \begin{enumerate} \item Déterminer une solution particulière $x_0$ de $(S)$ dans $\mathbb{Z}$. \item \textit{Déduire des questions précédentes} la résolution dans $\mathbb{Z}$ du système $(S)$.\\ On exprimera les solutions en fonction de la solution particulière $x_0$.\:\:\:\: \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \part*{BANQUE PROBABILIT\'ES} \section*{EXERCICE 95 \:probabilités} Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.\\ \begin{enumerate} \item Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.\\ Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points.\\ On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées.\\ On note $Y$ le nombre de points obtenus par le joueur sur une partie. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance. \item Déterminer la loi de $Y$, son espérance et sa variance. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que l'on tire simultanément cinq boules dans l'urne. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de $X$. \item Déterminer la loi de $Y$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 96 \:probabilités} Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, de loi de probabilité donnée par : $\forall n\in \mathbb{N}$, $P(X=n)=p_n$.\\ La fonction génératrice de $X$ est notée $G_X$ et elle est définie par $G_X(t)=E[t^X]=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}p_nt^n$. \begin{enumerate} \item Prouver que l'intervalle $\left] -1,1\right[ $ est inclus dans l'ensemble de définition de $G_X$. \item Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$.\\ On pose $S=X_1+X_2$.\\ Démontrer que $\forall t\in \left]-1,1 \right[ $, $G_S(t)=G_{X_1} (t)G_{X_2}(t)$:\\ \begin{enumerate} \item en utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières. \item en utilisant uniquement la définition de la fonction génératrice. \end{enumerate} \textbf{Remarque}: on admettra, pour la question suivante, que ce résultat est généralisable à $n$ variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$. \item Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2.\\ Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. On effectue $n$ tirages successifs, avec remise, d'une boule dans ce sac.\\ On note $S_n$ la somme des numéros tirés.\\ Soit $t\in \left]-1,1 \right[ $. \\ Déterminer $G_{S_n}(t)$ puis en déduire la loi de $S_n$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 97 \:probabilités} Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}^2$ dont la loi est donnée par:\\ $\forall (j,k)\in {\mathbb{N}^2}$, $P\left( (X,Y)=(j,k)\right)=\dfrac{(j+k)\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{j+k}}{\mathrm{e}\:j!\:k!}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.\\ Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? \item Prouver que $E\left[ 2^{X+Y}\right] $ existe et la calculer. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 98 \:probabilités} Une secrétaire effectue, une première fois, un appel téléphonique vers $n$ correspondants distincts.\\ On admet que les $n$ appels constituent $n$ expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant demandé est $p$ ($p\in{\left] 0,1\right[ }$).\\ Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus. \begin{enumerate} \item Donner la loi de $X$. Justifier. \item La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des $n-X$ correspondants qu'elle n'a pas pu joindre au cours de la première série d'appels. On note $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d'appels. \begin{enumerate} \item Soit $i\in \llbracket 0,n \rrbracket $. Déterminer, pour $k\in \mathbb{N}, $ $P(Y=k|X=i)$. \item Prouver que $Z=X+Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.\\ \textbf{Indication} : on pourra utiliser, sans la prouver, l'égalité suivante: $\dbinom{n-i}{k-i}\dbinom{n}{i}=\dbinom{k}{i}\dbinom{n}{k}$.\\ \item Déterminer l'espérance et la variance de $Z$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 99 \:probabilités} \begin{enumerate} \item Rappeler l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. \item Soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi et et telle que $\forall n\in \mathbb{N}$, $Y_n\in L^2$.\\ On pose $S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}Y_k$.\\ Prouver que: $\forall\:a\in \left] 0,+\infty\right[ $, $P\left( \left|\dfrac{S_n}{n}-E(Y_1)\right|\geqslant a\right) \leqslant\dfrac{V(Y_1)}{na^2}$. \item \textbf{Application}\\ On effectue des tirages successifs, avec remise, d'une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.\\ \`A partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95\% que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre $0,35$ et $0,45$?\\ \textbf{Indication} : considérer la suite $(Y_i)$ de variables aléatoires de Bernoulli où $Y_i$ mesure l'issue du $i^{\text{ème}}$ tirage. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 100 \:probabilités} Soit $\lambda \in{\left] 0,+\infty\right[ }$.\\ Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}^\ast$.\\ On suppose que $\forall n\in\mathbb{N}^\ast$, $P(X=n)=\dfrac{\lambda}{n(n+1)(n+2)} $. \begin{enumerate} \item Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $R$ définie par $R(x)=\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}$. \item Calculer $\lambda$. \item Prouver que $X$ admet une espérance, puis la calculer. \item $X$ admet-elle une variance? Justifier. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 101 \:probabilités} Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d'eau $A$, $B$ et $C$.\\ \`A l'instant $t=0$, il se trouve au point A.\\ Quand il a épuisé l'eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l'un des deux autres points d'eau.\\ L'eau du point qu'il vient de quitter se régénère alors.\\ \medskip Soit $n\in\mathbb{N}$.\\ On note $A_n$ l'événement «l'animal est en $A$ après son $n^{\text{ième}}$ trajet».\\ On note $B_n$ l'événement «l'animal est en $B$ après son $n^{\text{ième}}$ trajet».\\ On note $C_n$ l'événement «l'animal est en $C$ après son $n^{\text{ième}}$ trajet».\\ \medskip On pose $P(A_n)=a_n$, $P(B_n)=b_n$ et $P(C_n)=c_n$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer, en le justifiant, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ et $c_n$. \item Exprimer, de même, $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ et $c_n$. \end{enumerate} \item \begin{spacing}{1,3} On considère la matrice $A=\left( {\begin{array}{ccc} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0 \\ \end{array}} \right)$.\\ \end{spacing} \begin{enumerate} \item Justifier, sans calcul, que la matrice $A$ est diagonalisable. \item Prouver que $-\dfrac{1}{2}$ est valeur propre de $A$ et déterminer le sous-espace propre associé. \item Déterminer une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $D=P^{-1}AP$.\\ \textbf{Remarque}: le calcul de $P^{-1}$ n'est pas demandé. \end{enumerate} \item Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculer $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.\\ \textbf{Remarque}: aucune expression finalisée de $a_n$, $b_n$ et $c_n$ n'est demandée. \end{enumerate} \bigskip \section*{EXERCICE 102 \:probabilités} Soit $N\in\mathbb{N}^*$.\\ Soit $p\in\left] 0,1\right[$. On pose $q=1-p$.\\ On considère $N$ variables aléatoires $X_1,X_2,\cdots,X_N$ définies sur un même espace probabilisé $\left(\Omega,\mathcal{A},P\right)$, indépendantes et de même loi géométrique de paramètre $p$. \begin{enumerate} \item Soit $i\in\llbracket1,N\rrbracket$. Soit $n\in{\mathbb{N}^*}$.\\ Déterminer $P(X_i\leqslant n)$, puis $P(X_i> n)$. \item On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=\underset{1\leqslant i\leqslant N}{\min}(X_i)$\\ c'est-à-dire $\forall \omega \in\Omega$, $Y(\omega)=\min\left(X_1(\omega),\cdots,X_N(\omega)\right)$, $\min$ désignant « le plus petit élément de ». \begin{enumerate} \item Soit $n\in{\mathbb{N}^*}$. Calculer $P(Y>n)$.\\ En déduire $P(Y\leqslant n)$, puis $P(Y=n)$. \item Reconnaître la loi de $Y$. En déduire $E(Y)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 103 \:probabilités} \textbf{Remarque}: les questions 1. et 2. sont indépendantes.\\ \medskip Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\left( \lambda_1,\lambda_2 \right) \in \left( \left] 0,+\infty \right[\right) ^2$.\\ Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$.\\ On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et suivent des lois de Poisson, de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.\\ Déterminer la loi de $X_1+X_2$.\:\:\:\: \item En déduire l'espérance et la variance de $X_1+X_2$. \:\:\:\: \end{enumerate} \item Soit $p\in\left] 0,1\right]$. Soit $\lambda \in \left] 0,+\infty \right[$. \\ Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$. \\ On suppose que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.\\ On suppose que $X(\Omega)=\mathbb{N}$ et que, pour tout $m\in\mathbb{N}$, la loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=m)$ est une loi binomiale de paramètre $(m,p)$.\\ Déterminer la loi de $X$.\:\:\:\: \end{enumerate} \section*{EXERCICE 104 \:probabilités} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.\\ On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ et d'une boîte formée de trois compartiments identiques également numérotés de 1 à 3.\\ On lance simultanément les $n$ boules.\\ Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments.\\ Chaque compartiment peut éventuellement contenir les $n$ boules.\\ On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.%pourquoi indexer X par n le nombre de boules?% \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs prises par $X$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $P(X=2)$. \item Finir de déterminer la loi de probabilité de $X$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $E(X)$. \item Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}E(X)$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 105 \:probabilités} \begin{enumerate} \item \'Enoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d'événements. \item On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés (c'est-à-dire truqués).\\ Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut $\dfrac{1}{2}$. \begin{enumerate} \item On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.\\ Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé? \item Soit $n\in\mathbb{N}^*.$ \\ On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$.\\ Quelle est la probabilité $p_n$ que ce dé soit pipé? \item Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}^{}p_n$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 106 \:probabilités} $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans $\mathbb{N}$.\\ Elles suivent la même loi définie par: $\forall\:k\in\mathbb{N}$, $P(X=k)=P(Y=k)=pq^k$ où $p \in \left] 0,1\right[ $ et $q=1-p$.\\ On considère alors les variables $U$ et $V$ définies par $U=\sup(X,Y)$ et $V=\inf(X,Y)$. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi du couple $(U,V)$. \item Déterminer la loi marginale de $U$.\\ On admet que $V(\Omega)=\mathbb{N}$ et que, $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $P(V=n)=pq^{2n}(1+q)$. \item Prouver que $W=V+1$ suit une loi géométrique.\\ En déduire l'espérance de $V$. \item $U$ et $V$ sont-elles indépendantes? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 107 \:probabilités} On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.\\ L'urne $U_1$ contient deux boules blanches et trois boules noires.\\ L'urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires.\\ On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes:\\ on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie.\\ On note sa couleur et on la remet dans l'urne d'où elle provient.\\ Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l'urne $U_1$.\\ Sinon le tirage suivant se fait dans l'urne $U_2$.\\ Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note $B_n$ l'événement « la boule tirée au $n^{\text{ième}}$ tirage est blanche » et on pose $p_n=P(B_n)$. \begin{enumerate} \item Calculer $p_1$. \item Prouver que : $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $p_{n+1}=-\dfrac{6}{35}p_n+\dfrac{4}{7}$. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $p_n$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 108 \:probabilités} Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.\\ On suppose que la loi du couple $(X,Y)$ est donnée par:\\ $\forall\:(i,j)\in\mathbb{N}^2$, $P((X=i)\cap (Y=j))=\dfrac{1}{\mathrm{e}\:2^{i+1}j!}$ \begin{enumerate} \item Déterminer les lois de $X$ et de $Y$. \item \begin{enumerate} \item Prouver que $1+X$ suit une loi géométrique et en déduire l'espérance et la variance de $X$. \item Déterminer l'espérance et la variance de $Y$. \end{enumerate} \item Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? \item Calculer $P(X=Y)$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 109 \:probabilités} Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Une urne contient $n$ boules blanches numérotées de 1 à $n$ et deux boules noires numérotées 1 et 2.\\ On effectue le tirage une à une, sans remise, de toutes les boules de l'urne.\\ On suppose que tous les tirages sont équiprobables.\\ On note $X$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule blanche.\\ On note $Y$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule numérotée 1.\\ \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de $X$. \item Déterminer la loi de $Y$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 110 \:probabilités} Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé.\\ \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.\\ On considère la série entière $\displaystyle\sum t^nP(X=n)$ de variable réelle $t$.\\ On note $R_X$ son rayon de convergence.\\ \begin{enumerate} \item Prouver que $R_X\geqslant 1$.\:\:\:\:\\ On pose $G_X(t)=\displaystyle\sum\limits_ {n=0}^{+\infty}t^nP(X=n)$ et on note $D_{G_X}$ l'ensemble de définition de $G_X$.\\ Justifier que $\left[-1,1 \right] \subset D_{G_X}$.\:\:\:\:\\ Pour tout réel $t$ fixé de $\left[-1,1 \right]$, exprimer $G_X(t)$ sous forme d'une espérance.\:\:\:\: \item Soit $k\in\mathbb{N}$. Exprimer, en justifiant la réponse, $P(X=k)$ en fonction de $G_X^{(k)}(0)$.\:\:\:\: \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.\\ Déterminer $D_{G_X}$ et, pour tout $\:t\in D_{G_X}$, calculer $G_X(t)$.\:\:\:\: \item Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes et suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.\\ Déterminer, en utilisant les questions précédentes, la loi de $X+Y$.\:\:\:\: \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{EXERCICE 111 \:probabilités} On admet, dans cet exercice, que: $\forall\:q\in \mathbb{N}$, $\forall \:x\in \left] -1,1\right[$, $\displaystyle\sum\limits_{k\geqslant q}^{}\dbinom {k}{q}x^{k-q}$ converge et que $\displaystyle\sum\limits_{k=q}^{+\infty}\dbinom{k}{q}x^{k-q}=\dfrac{1}{(1-x)^{q+1}}.$\\ \bigskip Soit $p\in \left] 0,1\right[ $.\\ Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé.\\ Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.\\ On suppose que la loi de probabilité du couple $(X,Y)$ est donnée par:\\ \medskip $\forall\:(k,n)\in\mathbb{N}^2$, $P((X=k)\cap (Y=n))=\left\lbrace \begin{array}{l} \dbinom{n}{k}\left( \dfrac{1}{2}\right)^np(1-p)^n\:\text{si}\:k\leqslant n\\ 0\:\text{sinon} \end{array} \right.$ \begin{enumerate} \item Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de $Y$. \item Prouver que $1+Y$ suit une loi géométrique. \item Déterminer l'espérance de $Y$. \end{enumerate} \item Déterminer la loi de $X$. \end{enumerate} \section*{EXERCICE 112 \:probabilités} Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.\\ On désigne par $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\subset B $. \item Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\cap B=\emptyset $. \item Déterminer le nombre $c$ de triplets $(A,B,C)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^3$ tels que $A$, $B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et vérifient $A\cup B\cup C=E$. \end{enumerate} \end{flushleft} \end{document}